Барков родился в 1732 году в семье священника. В 1744 году он поступил в православную семинарию, где проучился 5 лет. В 1748 году по рекомендации Ломоносова он был принят в университет при Петербургской Академии наук, где занимался языками и поэзией. Он был неуспевающим учеником и неоднократно подвергался телесным наказаниям (порке) за пьянство, дерзость и клевету на ректора. В 1753 году получил должность писца в административной канцелярии Академии.
В 1755-56 годах он был личным секретарем Ломоносова и в этот период написал "Краткую историю России", которая была опубликована в 1762 году. В 1759-60 годах редактировал для публикации средневековую "Повесть временных лет" Нестора. В 1756 году он был уволен из Академии за пьянство и неповиновение, затем, после нескольких отсрочек, восстановлен на службе до окончательного увольнения в 1766 году.
Барков перевел на русский язык "Квинта Горация Флакка Сатиры или Беседы" в 1763 году, "Федра, Августова отпущенника, нравоучительные басни" в 1764 году и "Мир героев" Людовико Лаццарони в 1763 году.
Умер в 1768 году.