Анвар рано научился писать и читать, будучи всего четырех-пяти лет, он уже читал книги, особенно ему нравились стихи для детей Габдуллы Тукая и другая детская литература. Мальчика отдают в семилетнюю школу, после окончания которой, он и его одноклассники поступают на первый курс сельскохозяйственного техникума в 1931 году. Но доучиться там ему не удалось, Анвар бросил учебу из-за семейных проблем. В 1928 году умирает отец Анвара, а в 1931 году в связи с трагической кончиной среднего брата, который поддерживал семью материально, и единственным мужчиной в доме остался Анвар. Он перебивался временными работами по найму. Когда Анвар лишился отца, особое влияние на формирование его как личности оказал старший брат Мирза Давыдов (1898—1943) — участник революционных событий, гражданской войны и Великой Отечественной Войны.
В 1939 году Давыдов начал испытывать проблемы со здоровьем, что вынудило его вернуться в родные края. Он проработал 1 учебный год с 1939 по 1940 годы учителем русского языка и истории в семилетней школе села Белозерье в Мордовской АССР.
В 1940 году Анвара призывают на военную службу в Советской армии. Сначала он служил на границе с Монголией, затем в 1941 году в апреле—мае попадает на фронт. В 1942 году на фронте вступил в ряды КПСС. Был в боях под Смоленском, Тихвином, на Волховском фронте, Эстонии, Латвии, на Дальнем Востоке. За время службы прошел путь от рядового, до ефрейтора, а затем и сержанта.
После возвращения из армии в 1946 году, А. Давыдова в родном селе назначают редактором районной газеты «Югары уңлыш өчен» (сейчас «Камышлы хәбәрләре» (рус. «Камышлинские известия»)). В это же время он посвящает много времени творчеству: пишет стихи, поэмы, выпускает фельетоны и сатирические стихи на страницах районных газет. На проведенной в Казани в 1948 году конференции молодых писателей А. Давыдов выступил с поэмой «Коммунизм таңы» колхозында», которая получила отличную оценку. Эта поэма была опубликована в 1949 году в журнале «Советская литература» (тат. «Совет әдәбияты»). Далее в свет вышла поэма «Золотая осень» («Алтын көз»). А в 1950 году поэт выпускает сборник стихов и поэм под названием «Первые зерна» («Беренче бөртек»).